マイナスかけるマイナスは
どうしてプラスになるのか?
自分が中学校1年生だったとき、
あんまり深く悩まずに「そうなるものなんだ。」って、
とりあえず受け入れることができたのは
本当に良かったと思っています。
マイナスの数を使った簡単な加算・減算では、
(-1)+(+2)=+1
(-3)-(+4)=-7
といったところからはじまり、ここから、
(-1)-(-2)=+1
(-3)-(-4)=+1
みたいに、ちょっとずつ難易度があがるわけですが、
ここまでは
「借金」と「貯金」
を例にすれば、
割とスムーズに理解できるところ。
マイナスの数を引く(減算する)場合、
なぜプラスになるのか?
というのは、
「借金を持っていってくれるからだよ~~」
みたいに説明することができます。
マイナスかけるマイナスはどうしてプラスになるのか?
ただ、マイナスの数の説明をするにあたって、
最大の難関は
乗算・除算が加わるとき
じゃないでしょうか?
プラス同士の掛け算・割り算では
プラスになるのは当然。
次にプラスとマイナスの
掛け算となると、
プラス X マイナス = マイナス
マイナス X プラス = マイナス
となるのも頷けます。
しかし、マイナス同士の掛け算で、
マイナス X マイナス = プラス ←?
となるのはなんでだろう?と。
僕が中一のころの数学の先生は、
足し算・引き算の時とは違って、
たとえ話を持ちだすのはあきらめ、
「マイナス同士の掛け算はプラスになります!」
「これがルールなんで覚えてくださいね~~」
と、とにかく事実だけを覚えさせようとしたわけですが、
なまじっか、好奇心が強い子だったら、
なんで、マイナス同士を掛け算したらプラスになるんだ?
って、かなり頭を悩ませると思うんですね。
僕は今でこそ、
割とわかりやすい説明ができます。
他にもいろんな知識を身に着けたおかげで、
合理的かつ納得してもらいやすい説明を、
考えることができました。
逆に言うと、
中学生くらいの子供が、いくら頭をひねっても、
マイナス同士の掛け算がプラスになる理由なんて、
おそらく思いつかないんじゃないかと思います。
それに、ここで延々と悩み続けてしまった結果、
学校の勉強に乗り遅れ気味になってしまい、
成績が落ちていくのが、僕は一番怖いなと思っています。
マイナスかけるマイナスがプラスになるのは、
絶対に覚えたもの勝ちだと思うんですが、
どうしても説明しなきゃいけない場合、
こんな風に説明してはいかがでしょうか?
数直前上を行ったり来たりすることを考える。
数直線上をプラス・マイナスの方向へ
歩いて行ったり来たりする状況を考えます。
このとき、
1.プラス方向に体を向けて前に一歩進む → +1
2.マイナス方向に体を向けて前に一歩進む → -1
と考えることができますね。
ここで話を1段階レベルアップして
「後ろ向き」要素を加えます。
そうすると、
3.プラス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → -1
4.マイナス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → +1
こんな風になり、
結果として進む方向が変わります。
以上を踏まえて、数式を考えると、
自分の現在位置が「0(ゼロ」だとすれば、
↓のように考えることができます。
1.0+(+1) = +1
2.0+(-1) = -1
3.0ー(+1) = -1
4.0ー(-1) = +1参考
1.プラス方向に体を向けて前に一歩進む → +1
2.マイナス方向に体を向けて前に一歩進む → -1
3.プラス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → -1
4.マイナス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → +1
話を簡単にするために、
スタート地点は「0」にしていますが、
スタート地点が3だった場合、
(-5)だった場合など想定すると、
普通にマイナスの数を含んだ
加算・減算になりますね。
ここまでは大丈夫でしょうか??
・自分の体の向きがプラス向きかマイナス向きか?
・足を前に出すか後ろに出すか?
これによって、
マイナスの数の足し算・引き算の説明ができます。
後ろを向いて後ろ向きに歩く
マイナスの足し算・引き算の説明が済んだところで、
話を掛け算へ応用していきます。
マイナスの掛け算の場合、数式にもう少し意味を加えます。
(歩幅)X(体の向きと歩数)=(進んだ距離)
という風に考えます。
歩幅は、
1歩で何マス分進むか?
という要素です。
さらに、前に踏み出すならプラス、
後ろに生み出すならマイナス、
と考えてください。
たとえば
.(+2) X (+3) = +6
2.(-3) X (+4) = -12
3.(+3) X (-1) = -3
になります。
1.の場合
・目盛り2つ分の歩幅を前に足を出す。
・プラスの方向を向いて3歩進む。
2.の場合は、
・目盛り3つ分の歩幅で後ろに足を出す。
・プラスの方向を向いて4歩進む。
3.の場合には
・目盛り3つ分の歩幅で前に足を出す。
・マイナスの方向を向いて1歩進む。
という状況だというのがわかりますね。
以上を踏まえて、いよいよ、
4.(-2)X(-3)
を考えてみましょう。
歩幅・歩数に当てはめて考えると
・目盛り2つ分の歩幅で後ろに足を出す。
・マイナスの方向を向いて3歩進む。
と考えることができますから、
後ろに足を出すけれど、
体はマイナスの方向を向いてるから、
結果としてプラスの方向へ進む
ことになりますよね?
狐につままれたような感じがするかもしれませんが、
数直線上で足を出す方向、体の向きを考えれば、
おのずとイメージできることです。
基本の基本こそ大切にしよう
塾講師をしていた経験上、
中学生くらいで勉強につまづいてしまう子って
些細なことにつまづいている
ことがほとんどなんですよね。
方程式もぐんぐん難易度が高くなるものの、
左辺と右辺は常に等しい
という大原則を忘れなければ、
たいていの計算問題は
解けるようになります。
基本を知らない子供に基本を教えることほど
難しいことはないというのは、僕も肌で感じていますが、
基本をガチガチに組み上げてこそ、
本当の応用力が身につくものですよね。