マイナスかけるマイナス|マイナス同士の掛け算の例え・プラスになる理由

 [投稿日]2015/01/30[最終更新日]2018/07/19

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マイナス同士の掛け算、
マイナスかけるマイナス(マイナス×マイナス)は、
どうしてプラスになるのか?

自分は中学校1年生の時の数学で
マイナス同士の掛け算を習いましたが、
今でも中学1年で正負の数の掛け算(乗算)を習うようですね。

あんまり深く悩まずに「そうなるものなんだ。」って、
とりあえず受け入れることができたのは
本当に良かったと思っています。

マイナス(負の数)を使った
簡単な加算(足し算)・減算(引き算)では、

(-1)+(+2)=+1
(-3)-(+4)=-7

といったところからはじまり、ここから、マイナス同士の加算や減算、

(-1)-(-2)=+1
(-3)-(-4)=+1

みたいに、ちょっとずつ難易度があがるわけですが、
ここまでは
「借金」と「貯金」
で例えてあげれば、割とスムーズに理解できるところです。

「借金を引いてあげれば、貯金が増えるよね」

みたいな例えですね。

具体的には、
マイナスの数を引く(減算する)場合、
なぜプラスになるのか?というのは、

「借金を持っていってくれるからだよ~~」

みたいに説明することができます。

マイナスかけるマイナス(マイナス同士)がプラスになる理由

ただ、マイナスの数の説明をするにあたって、

最大の難関はマイナス同士の

乗算・除算が加わるとき

じゃないでしょうか?

プラス同士の掛け算・割り算では
プラスになるのは当然

次にプラスとマイナスの
掛け算となると、

プラス X マイナス = マイナス
マイナス X プラス = マイナス

となるのも頷けます。

しかし、マイナス同士の掛け算で、

マイナス×マイナス = プラス ←?

となるのはなんでだろう?と。

僕が中一のころの数学の先生は、
足し算・引き算の時とは違って、
例え話を持ちだすのはあきらめ、

「マイナス同士の掛け算はプラスになります!」
「これがルールなんで覚えてくださいね~~」

と、とにかく事実だけを覚えさせようとしたわけですが、
なまじっか、好奇心が強い子だったら、

なんで、マイナス同士を掛け算したらプラスになるんだ?

って、かなり頭を悩ませると思うんですね。

僕は今でこそ、
割とわかりやすい説明ができます。

他にもいろんな知識を身に着けたおかげで、
合理的かつ納得してもらいやすい説明を考えることができました。

逆に言うと、
中学生くらいの子供が、いくら頭をひねっても、
マイナス同士の掛け算がプラスになる理由なんて、
おそらく思いつかないんじゃないかと思います。

それに、マイナス同士のプラスになる理由を
延々と悩み続けてしまった結果、
学校の勉強に乗り遅れ気味になってしまい、
数学の成績が落ちていくのが、僕は一番怖いなと思っています。

マイナスかけるマイナス(マイナス同士)の掛け算がプラスになるのは、
絶対に覚えたもの勝ちだと思うんですが、
どうしても説明しなきゃいけない場合、
こんな例えを使って説明してはいかがでしょうか?

数直前上を行ったり来たりすることを考える。

数直線上をプラス・マイナスの方向へ
歩いて行ったり来たりする状況を考えます。

このとき、

1.プラス方向に体を向けて前に一歩進む → +1
2.マイナス方向に体を向けて前に一歩進む → -1

数式に直すと

1.0+(+1) = +1
2.0-(+1) = -1

と考えることができますね。

ここで話を1段階レベルアップして
後ろ向きに足を出す
(体の向きとは逆方向に進む)
という要素を加えます。

そうすると、

3.プラス方向に体を向けて、後ろ向きに一歩進む → -1
4.マイナス方向に体を向けて、後ろ向きに一歩進む → +1

こんな風になり、
結果として進む方向が変わるのがわかります。

以上を踏まえて、数式を考えると、
自分の現在位置が「0(ゼロ」だとすれば、
↓のように考えることができます。

1.0+(+1) = +1
2.0-(+1) = -1
3.0+(-1) = -1
4.0-(-1) = +1

参考
1.プラス方向に体を向けて前に一歩進む → +1
2.マイナス方向に体を向けて前に一歩進む → -1
3.プラス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → -1
4.マイナス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → +1

話を簡単にするために、
スタート地点は「0」にしていますが、
スタート地点が3だった場合、
(-5)だった場合など想定すると、
普通にマイナスの数を含んだ
加算・減算になりますね。

ここまでは大丈夫でしょうか??

・自分の体の向きがプラス向きかマイナス向きか?
・足を出す向きは前(プラス)か後ろ(マイナス)か?

これによって、
マイナスの数の足し算・引き算の説明ができます。

後ろを向いて後ろ向きに歩く

マイナスの足し算・引き算の説明が済んだところで、
話を掛け算へ応用していきます。

マイナスの掛け算の場合、数式にもう少し意味を加えます。

(足を出す向きと歩幅)X(体の向きと歩数)=(進んだ距離)

という風に考えます。

歩幅は、
1歩で何マス分進むか?
という要素です。

前向きに足を2歩分前に出すのであれば(+2)、
後ろ向きに足を3歩分前に出すのであれば(-3)、
と考えてください。

具体的に数式に落とし込むと、まずマイナス同士じゃない掛け算であれば、

1.(+2) X  (+3) = +6
2.(-3) X (+4) = -12
3.(+3) X (-1) = -3

になります。

1.の場合

・目盛り2つ分の歩幅を前に足を出す。
・プラスの方向を向いて3歩進む。

2.の場合は、

・目盛り3つ分の歩幅で後ろに足を出す。
・プラスの方向を向いて4歩進む。

3.の場合には

・目盛り3つ分の歩幅で前に足を出す。
・マイナスの方向を向いて1歩進む。

という状況だというのがわかりますね。

以上を踏まえて、いよいよ、

4.(-2)X(-3)

を考えてみましょう。

歩幅・歩数に当てはめて考えると

・目盛り2つ分の歩幅で後ろに足を出す。
・マイナスの方向を向いて3歩進む。

と考えることができますから、

後ろに足を出すけれど、
体はマイナスの方向を向いてるから、
結果としてプラスの方向へ進む
ことになりますよね?

狐につままれたような感じがするかもしれませんが、
数直線上で足を出す方向、体の向きを考えれば、
おのずとイメージできることです。

基本の基本こそ大切にしよう

塾講師をしていた経験上、
中学生くらいで勉強につまづいてしまう子って
些細なことにつまづいている
ことがほとんどなんですよね。

方程式もぐんぐん難易度が高くなるものの、

左辺と右辺は常に等しい

という大原則を忘れなければ、
たいていの計算問題は
解けるようになります。

基本を知らない子供に基本を教えることほど
難しいことはないというのは、僕も肌で感じていますが、
基本をガチガチに組み上げてこそ、
本当の応用力が身につくものですよね。

関連ページ:分数の割り算のやり方|分数方程式ひっくり返す理由は?

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