マイナスかけるマイナスは
どうしてプラスになるのか?
自分が中学校１年生だったとき、
あんまり深く悩まずに「そうなるものなんだ。」って、
とりあえず受け入れることができたのは
本当に良かったと思っています。
マイナスの数を使った簡単な加算・減算では、
（－１）＋（＋２）＝＋１
（－３）－（＋４）＝－７
といったところからはじまり、ここから、
（－１）－（－２）＝＋１
（－３）－（－４）＝＋１
みたいに、ちょっとずつ難易度があがるわけですが、
ここまでは
「借金」と「貯金」
を例にすれば、
割とスムーズに理解できるところ。
マイナスの数を引く（減算する）場合、
なぜプラスになるのか？
というのは、
「借金を持っていってくれるからだよ～～」
みたいに説明することができます。
マイナスかけるマイナスはどうしてプラスになるのか?
ただ、マイナスの数の説明をするにあたって、
最大の難関は
乗算・除算が加わるとき
じゃないでしょうか？
プラス同士の掛け算・割り算では
プラスになるのは当然。
次にプラスとマイナスの
掛け算となると、
プラス Ｘ マイナス ＝ マイナス
マイナス Ｘ プラス ＝ マイナス
となるのも頷けます。
しかし、マイナス同士の掛け算で、
マイナス Ｘ マイナス ＝ プラス ←？
となるのはなんでだろう？と。
僕が中一のころの数学の先生は、
足し算・引き算の時とは違って、
たとえ話を持ちだすのはあきらめ、
「マイナス同士の掛け算はプラスになります！」
「これがルールなんで覚えてくださいね～～」
と、とにかく事実だけを覚えさせようとしたわけですが、
なまじっか、好奇心が強い子だったら、
なんで、マイナス同士を掛け算したらプラスになるんだ？
って、かなり頭を悩ませると思うんですね。
僕は今でこそ、
割とわかりやすい説明ができます。
他にもいろんな知識を身に着けたおかげで、
合理的かつ納得してもらいやすい説明を、
考えることができました。
逆に言うと、
中学生くらいの子供が、いくら頭をひねっても、
マイナス同士の掛け算がプラスになる理由なんて、
おそらく思いつかないんじゃないかと思います。
それに、ここで延々と悩み続けてしまった結果、
学校の勉強に乗り遅れ気味になってしまい、
成績が落ちていくのが、僕は一番怖いなと思っています。
マイナスかけるマイナスがプラスになるのは、
絶対に覚えたもの勝ちだと思うんですが、
どうしても説明しなきゃいけない場合、
こんな風に説明してはいかがでしょうか？
数直前上を行ったり来たりすることを考える。
数直線上をプラス・マイナスの方向へ
歩いて行ったり来たりする状況を考えます。
このとき、
１．プラス方向に体を向けて前に一歩進む → ＋１
２．マイナス方向に体を向けて前に一歩進む → －１
と考えることができますね。
ここで話を１段階レベルアップして
「後ろ向き」要素を加えます。
そうすると、
３．プラス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → －１
４．マイナス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → ＋１
こんな風になり、
結果として進む方向が変わります。
以上を踏まえて、数式を考えると、
自分の現在位置が「０（ゼロ」だとすれば、
↓のように考えることができます。
１．０＋（＋１） ＝ ＋１
２．０＋（－１） ＝ －１
３．０ー（＋１） ＝ －１
４．０ー（－１） ＝ ＋１参考
１．プラス方向に体を向けて前に一歩進む → ＋１
２．マイナス方向に体を向けて前に一歩進む → －１
３．プラス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → －１
４．マイナス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → ＋１
話を簡単にするために、
スタート地点は「０」にしていますが、
スタート地点が３だった場合、
（－５）だった場合など想定すると、
普通にマイナスの数を含んだ
加算・減算になりますね。
ここまでは大丈夫でしょうか？？
・自分の体の向きがプラス向きかマイナス向きか？
・足を前に出すか後ろに出すか？
これによって、
マイナスの数の足し算・引き算の説明ができます。
後ろを向いて後ろ向きに歩く
マイナスの足し算・引き算の説明が済んだところで、
話を掛け算へ応用していきます。
マイナスの掛け算の場合、数式にもう少し意味を加えます。
（歩幅）Ｘ（体の向きと歩数）＝（進んだ距離）
という風に考えます。
歩幅は、
１歩で何マス分進むか？
という要素です。
さらに、前に踏み出すならプラス、
後ろに生み出すならマイナス、
と考えてください。
たとえば
．（＋２） Ｘ （＋３） ＝ ＋６
２．（－３） Ｘ （＋４） ＝ －１２
３．（＋３） Ｘ （－１） ＝ －３
になります。
１．の場合
・目盛り２つ分の歩幅を前に足を出す。
・プラスの方向を向いて３歩進む。
２．の場合は、
・目盛り３つ分の歩幅で後ろに足を出す。
・プラスの方向を向いて４歩進む。
３．の場合には
・目盛り３つ分の歩幅で前に足を出す。
・マイナスの方向を向いて１歩進む。
という状況だというのがわかりますね。
以上を踏まえて、いよいよ、
４．（－２）Ｘ（－３）
を考えてみましょう。
歩幅・歩数に当てはめて考えると
・目盛り２つ分の歩幅で後ろに足を出す。
・マイナスの方向を向いて３歩進む。
と考えることができますから、
後ろに足を出すけれど、
体はマイナスの方向を向いてるから、
結果としてプラスの方向へ進む
ことになりますよね？
狐につままれたような感じがするかもしれませんが、
数直線上で足を出す方向、体の向きを考えれば、
おのずとイメージできることです。
基本の基本こそ大切にしよう
塾講師をしていた経験上、
中学生くらいで勉強につまづいてしまう子って
些細なことにつまづいている
ことがほとんどなんですよね。
方程式もぐんぐん難易度が高くなるものの、
左辺と右辺は常に等しい
という大原則を忘れなければ、
たいていの計算問題は
解けるようになります。
基本を知らない子供に基本を教えることほど
難しいことはないというのは、僕も肌で感じていますが、
基本をガチガチに組み上げてこそ、
本当の応用力が身につくものですよね。
