マイナスかけるマイナス|マイナス同士の掛け算の例え・プラスになる理由

マイナス同士の掛け算、
マイナスかけるマイナス(マイナス×マイナス)は、
どうしてプラスになるのか?

自分は中学校1年生の時の数学で
マイナス同士の掛け算を習いましたが、
今でも中学1年で正負の数の掛け算(乗算)を習うようですね。

あんまり深く悩まずに「そうなるものなんだ。」って、
とりあえず受け入れることができたのは
本当に良かったと思っています。

結論から言ってしまうと、
マイナスかけるマイナス(マイナス×マイナス)というのは、
数直線上を歩いて行ったり来たりするイメージに例えるならば、

身体をマイナスの方向に向けた状態で、
後ろ向きに足を一歩出せば、
結果的にプラスの方向に進むことになるよね、って話です。

※前向きに足を出すのがプラスの概念、
後ろ向きに足を出すのはマイナスの概念、
という前提で話をしています。

マイナス同士の引き算・足し算からおさらい

マイナス(負の数)を使った
簡単な加算(足し算)・減算(引き算)では、

(-1)+(+2)=+1
(-3)-(+4)=-7

といったところからはじまり、ここから、
マイナス同士の加算や減算、

(-1)-(-2)=+1
(-3)-(-4)=+1

みたいに、ちょっとずつ難易度があがるわけですが、
ここまでは
「借金」と「貯金」
で例えてあげれば、割とスムーズに理解できるところです。

「借金を引いてあげれば、貯金が増えるよね」

みたいな例えですね。

具体的には、
マイナスの数を引く(減算する)場合、
なぜプラスになるのか?というのは、

「借金を持っていってくれるからだよ~~」

みたいに説明することができます。

マイナスかけるマイナス(マイナス同士)がプラスになる理由

ただ、マイナスの数の説明をするにあたって、

最大の難関はマイナス同士の

乗算・除算が加わるとき

じゃないでしょうか?

プラス同士の掛け算・割り算では
プラスになるのは当然

次にプラスとマイナスの
掛け算となると、

プラス X マイナス = マイナス
マイナス X プラス = マイナス

となるのも頷けます。

しかし、マイナス同士の掛け算で、

マイナス×マイナス = プラス ←?

となるのはなんでだろう?と。

僕が中一のころの数学の先生は、
足し算・引き算の時とは違って、
例え話を持ちだすのはあきらめ、

「マイナス同士の掛け算はプラスになります!」
「これがルールなんで覚えてくださいね~~」

と、とにかく事実だけを覚えさせようとしたわけですが、
なまじっか、好奇心が強い子だったら、

なんで、マイナス同士を掛け算したらプラスになるんだ?

って、かなり頭を悩ませると思うんですね。

僕は今でこそ、
割とわかりやすい説明ができます。

他にもいろんな知識を身に着けたおかげで、
合理的かつ納得してもらいやすい説明を考えることができました。

逆に言うと、
中学生くらいの子供が、いくら頭をひねっても、
マイナス同士の掛け算がプラスになる理由なんて、
おそらく思いつかないんじゃないかと思います。

それに、マイナス同士のプラスになる理由を
延々と悩み続けてしまった結果、
学校の勉強に乗り遅れ気味になってしまい、
数学の成績が落ちていくのが、僕は一番怖いなと思っています。

マイナスかけるマイナス(マイナス同士)の掛け算がプラスになるのは、
絶対に覚えたもの勝ちだと思うんですが、
どうしても説明しなきゃいけない場合、
こんな例えを使って説明してはいかがでしょうか?

数字を徐々に増やしていくマイナス×マイナスはプラスの教え方

単純な掛け算から規則性を見出して、
マイナス×マイナスはプラスになるのが自然なことだと教えていきます。

-4×5=-20
-4×4=-16
-4×3=-12
-4×2=-8
-4×1=-4
-4×0=0

という漢字で、まずはマイナスとプラスの掛け算をしていき、
プラスの数字の方を一つずつ減らしていきます。

-4×-1=+4
-4×-2=+8
-4×-3=+12
-4×-4=+16
-4×-5=+20

すると、0から数字が一つ減ると「-1」になり、
「-4×-1」の掛け算が出てきますが、これまでの規則性を考えると、
4ずつ数字が大きくなっています。

「-4×-1」の答えが「+4」になることを自然に導き出すことができます。

教える方としても楽ではありますが、
ただこのやり方は生徒に納得してもらうというよりも、
どちらかというと「マイナス×マイナスはプラスになるものなんだ」
という数学的な知識を丸呑みさせるようなことになります。

そもそも、マイナス×マイナスがプラスになるのは数学の定義になるので、
九九を暗記するのと同じように理解する前に覚えるべきものでもありますが。汗

ただ小学校の段階ですでに0割り算「÷0」は計算できない、
ということを理屈なしで教えていたりするわけなので、
このやり方も決して悪い教え方ではないでしょう。

はじき(時間・距離・速度)でマイナス×マイナスを教える方法

距離=時間×速度

のはじきを使ってマイナス×マイナスがプラスになることを教える方法もあります。

たとえば時間が1時間経過することを「+1」と表現するならば、
時間を1時間さかのぼることを「-1」と表現することができます。

そして自分が今いる位置から目的地方向に向かうことをプラスと表現するならば、
目的地方向から逆に戻ることはマイナスと表現することができます。

時速60kmで動く車が2時間前にどこにいたのかというと、

60 × -2 = -120

となって、現在地よりも120キロ戻った位置にいたと計算によって導くことができます。

ここで速度の「時速60km」というのは、目的地方向に向かった場合の表現方法だとすれば、
目的地方向に向かって逆方向に進む場合もやはり「-」を使って表現することができますよね。

目的地方向とは逆に時速60km進んでいる車が3時間前にどこにいたのかというと、
現在地よりもさらに目的地に近い位置、つまりプラスの位置になるはずです。

数式で表現をすると、

-60 × -3 = +180

と表せるので、マイナス×マイナスはプラスになることを導き出すことができます。

バケツに水をためるマイナス×マイナスはプラスになる教え方

はじきと同じような感じで、
バケツに水をためる様子を数式にすることで、
マイナス×マイナスはプラスになることを説明することができます。

バケツにたまる水の量 = 時間 × 水を入れる(抜く)量

で表すことができます。

時間は未来に進むのを「プラス」と考えると過去に戻るのは「マイナス」になります。

バケツに水を入れるのは「プラス」と表現するならば、
バケツから水を抜くことを「マイナス」と表現することができますね。

2時間前からバケツの水を1時間当たり10リットル抜いて空になった場合、
2時間前にはどれだけの水がバケツに入っていたかというと、
20リットルの水が入っていたと考えられます。

このことを数式で表現すると、

-10 × -2 = +20

となって、マイナス×マイナスはプラスになることを導き出すことができます。

借金と収入でマイナス×マイナスはプラスを教える方法

お金を稼ぐことはプラス、お金を使うこと(借りること)はマイナスと表現できます。

たとえば時給2000円で3時間のアルバイトをしたら、
手元にあるお金は6000円増えます。

2000 × 3 = 6000

それに対して、1時間3000円で遊べる遊園地で遊んだ4時間前に、
手元にはいくらのお金があったのかというと、
12000円だということがわかります。

このことを数式で表すならば、

-3000 × -4 = +12000

といった感じで、やはりマイナス×マイナスはプラスになることを導き出すことができます。

数直前上を行ったり来たりする教え方

数直線上をプラス・マイナスの方向へ
歩いて行ったり来たりする状況を考えます。

このとき、

1.プラス方向に体を向けて前に一歩進む → +1
2.マイナス方向に体を向けて前に一歩進む → -1

数式に直すと

1.0+(+1) = +1
2.0-(+1) = -1

と考えることができますね。

ここで話を1段階レベルアップして

後ろ向きに足を出す(体の向きとは反対方向に足を出す)

という要素を加えます。

そうすると、

3.プラス方向に体を向けて、後ろ向きに一歩進む → -1
4.マイナス方向に体を向けて、後ろ向きに一歩進む → +1

こんな風になり、
結果として進む方向が変わるのがわかります。

以上を踏まえて、数式を考えると、
自分の現在位置が「0(ゼロ」だとすれば、
↓のように考えることができます。

1.0+(+1) = +1
2.0-(+1) = -1
3.0+(-1) = -1
4.0-(-1) = +1

参考
1.プラス方向に体を向けて前に一歩進む → +1
2.マイナス方向に体を向けて前に一歩進む → -1
3.プラス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → -1
4.マイナス方向に体を向けて後ろ向きに一歩進む → +1

話を簡単にするために、
スタート地点は「0」にしていますが、

スタート地点が3だった場合、
(-5)だった場合など想定すると、

普通にマイナスの数を含んだ
加算・減算になりますね。

ここまでは大丈夫でしょうか??

・自分の体の向きがプラス向きかマイナス向きか?
・足を出す向きは前(プラス)か後ろ(マイナス)か?

これによって、
マイナスの数の足し算・引き算の説明ができます。

後ろを向いて後ろ向きに歩く

マイナスの足し算・引き算の説明が済んだところで、
話を掛け算へ応用していきます。

マイナスの掛け算の場合、数式にもう少し意味を加えます。

(足を出す向きと歩幅)X(体の向きと歩数)=(進んだ距離)

という風に考えます。

歩幅は、
1歩で何マス分進むか?
という要素です。

前向きに足を2歩分前に出すのであれば(+2)、
後ろ向きに足を3歩分前に出すのであれば(-3)、
と考えてください。

具体的に数式に落とし込むと、まずマイナス同士じゃない掛け算であれば、

1.(+2) X  (+3) = +6
2.(-3) X (+4) = -12
3.(+3) X (-1) = -3

になります。

1.の場合

・目盛り2つ分の歩幅を前に足を出す。
・プラスの方向を向いて3歩進む。

2.の場合は、

・目盛り3つ分の歩幅で後ろに足を出す。
・プラスの方向を向いて4歩進む。

3.の場合には

・目盛り3つ分の歩幅で前に足を出す。
・マイナスの方向を向いて1歩進む。

という状況だというのがわかりますね。

以上を踏まえて、いよいよ、

4.(-2)X(-3)

を考えてみましょう。

歩幅・歩数に当てはめて考えると

・目盛り2つ分の歩幅で後ろに足を出す。
・マイナスの方向を向いて3歩進む。

と考えることができますから、

後ろに足を出すけれど、
体はマイナスの方向を向いてるから、
結果としてプラスの方向へ進む
ことになりますよね?

狐につままれたような感じがするかもしれませんが、
数直線上で足を出す方向、体の向きを考えれば、
おのずとイメージできることです。

ツイッターでも議論になったマイナス×マイナスはプラスになる教え方

基本の基本こそ大切にしよう

塾講師をしていた経験上、
中学生くらいで勉強につまづいてしまう子って
些細なことにつまづいている
ことがほとんどなんですよね。

方程式もぐんぐん難易度が高くなるものの、

左辺と右辺は常に等しい

という大原則を忘れなければ、
たいていの計算問題は
解けるようになります。

基本を知らない子供に基本を教えることほど
難しいことはないというのは、僕も肌で感じていますが、
基本をガチガチに組み上げてこそ、
本当の応用力が身につくものですよね。

マイナス同士の掛け算と同じように、
分数同士の割り算はなぜ逆数にするのか?に関しても
説明は難しいところがあります。

関連ページ:分数の割り算のやり方|分数方程式ひっくり返す理由は?

基本的な数字の計算方法になりますが、
ココもやはり、あまり難しく考えず、
こういうものなんだ!って覚えてもらうのが良いでしょうね。